Формула для сторон трапеции. Как найти площадь трапеции: формулы и примеры

Площадь трапеции: формулы и методика вычислений

Для того чтобы чувствовать себя на уроках геометрии уверенно и успешно решать задачи, недостаточно выучить формулы. Их нужно в первую очередь понимать. Бояться, а тем более ненавидеть формулы – непродуктивно. В этой статье доступным языком будут проанализированы различные способы поиска площади трапеции. Для лучшего усвоения соответствующих правил и теорем уделим некоторое внимание ее свойствам. Это поможет разобраться в том, как работают правила и в каких случаях следует применять те или иные формулы.

Определяем трапецию

Свойства трапеции

Это определение обязательно надо выучить и понять, ведь это ключ к решению множества задач!

У трапеции всегда можно опустить высоту на основание. Высота – это перпендикуляр, часто обозначаемый символом h, который проведен из любой точки одного основания на другое основание или его продолжение. Средняя линия и высота помогут найти площадь трапеции. Подобные задачи являются самыми распространенными в школьном курсе геометрии и регулярно появляются среди контрольных и экзаменационных работ.

Самые простые формулы площади трапеции

В этой формуле a, b обозначают основания трапеции, h – высоту. Для удобства восприятия в этой статье знаки умножения отмечены символом (*) в формулах, хотя в официальных справочниках знак умножения обычно опускают.

Дано: трапеция с двумя основаниями, равными 10 и 14 см, высота составляет 7 см. Чему равна площадь трапеции?

Разберем решение этой задачи. По этой формуле сначала нужно найти полусумму оснований: (10+14)/2 = 12. Итак, полусумма равняется 12 см. Теперь полусумму умножаем на высоту: 12*7 = 84. Искомое найдено. Ответ: площадь трапеции равна 84 кв. см.

Вторая известная формула гласит: площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту трапеции. То есть фактически вытекает из предшествующего понятия средней линии: S=m*h.

Использование диагоналей для вычислений

Другой способ нахождения площади трапеции на самом деле не так уж сложен. Он связан с ее диагоналями. По этой формуле для нахождения площади требуется умножить полупроизведение ее диагоналей (d₁ d₂) на синус угла между ними:

Рассмотрим задачу, которая показывает применение этого способа. Дано: трапеция с длиной диагоналей равной соответственно 8 и 13 см. Угол a между диагоналями равняется 30°. Найти площадь трапеции.

Решение. Используя вышеприведенную формулу, легко вычислить требуемое. Как известно, sin 30° составляет 0,5. Следовательно, S = 8*13*0,5=52. Ответ: площадь равна 52 кв. см.

Ищем площадь равнобокой трапеции

Трапеция может быть равнобокой (равнобедренной). Ее боковые стороны одинаковы И углы при основаниях равны, что хорошо иллюстрирует рисунок. Равнобедренная трапеция имеет такие же свойства, что и обычная, плюс ряд особых. Вокруг равнобокой трапеции может быть описана окружность, и в нее может быть вписана окружность.

Какие же есть методики вычисления площади такой фигуры? Нижеприведенный способ потребует больших вычислений. Для его применения нужно знать значения синуса (sin) и косинуса (cos) угла при основании трапеции. Для их расчетов требуются либо таблицы Брадиса либо инженерный калькулятор. Вот эта формула:

где с – боковое бедро, a – угол при нижнем основании.

Равнобокая трапеция обладает диагоналями одинаковой длины. Верно и обратное утверждение: если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной. Отсюда следующая формула, помогающая найти площадь трапеции – полупроизведение квадрата диагоналей на синус угла между ними: S = ½ d 2 sina.

Находим площадь прямоугольной трапеции

Известен частный случай прямоугольной трапеции. Это трапеция, у которой одна боковая сторона (ее бедро) примыкает к основаниям под прямым углом. Она имеет свойства обычной трапеции. Помимо этого, она обладает очень интересной особенностью. Разность квадратов диагоналей такой трапеции равняется разности квадратов ее оснований. Для нее используют все ранее приведенные методики вычисления площади.

Применяем смекалку

Есть одна хитрость, которая может помочь в случае забывчивости специфических формул. Рассмотрим внимательнее, что представляет собой трапеция. Если мысленно разделить ее на части, то мы получим знакомые и понятные геометрические фигуры: квадрат или прямоугольник и треугольник (один или два). Если известны высота и стороны трапеции, можно воспользоваться формулами площади треугольника и прямоугольника, после чего сложить все полученные величины.

Проиллюстрируем это следующим примером. Дана прямоугольная трапеция. Угол C = 45°, углы A, D составляют 90°. Верхнее основание трапеции равно 20 см, высота равна 16 см. Требуется вычислить площадь фигуры.

Данная фигура очевидным образом состоит из прямоугольника (если два угла равны 90°) и треугольника. Так как трапеция прямоугольная, следовательно, ее высота равна ее боковой стороне, то есть 16 см. Имеем прямоугольник со сторонами 20 и 16 см соответственно. Рассмотрим теперь треугольник, угол которого равен 45°. Мы знаем, что одна его сторона составляет 16 см. Так как эта сторона является одновременно высотой трапеции (а нам известно, что высота опускается на основание под прямым углом), следовательно, второй угол треугольника равен 90°. Отсюда оставшийся угол треугольника составляет 45°. Следствием этого мы получаем прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого две стороны одинаковы. Значит, другая сторона треугольника равна высоте, то есть 16 см. Осталось вычислить площадь треугольника и прямоугольника и сложить полученные величины.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = (16*16)/2 = 128. Площадь прямоугольника равняется произведению его ширины на длину: S = 20*16 = 320. Мы нашли требуемое: площадь трапеции S = 128 + 320 = 448 кв. см. Можно легко себя перепроверить, воспользовавшись вышеприведенными формулами, ответ будет идентичен.

Используем формулу Пика

в этой формуле M – количество узлов, т.е. пересечений линий фигуры с линиями клетки на границах трапеции (оранжевые точки на рисунке), N – количество узлов внутри фигуры (синие точки). Удобнее всего пользоваться ею при нахождении площади неправильного многоугольника. Тем не менее, чем больше арсенал используемых методик, тем меньше ошибок и лучше результаты.

Разумеется, приведенными сведениями далеко не исчерпываются типы и свойства трапеции, а также способы поиска ее площади. В этой статье дан обзор наиболее важных ее характеристик. В решении геометрических задач важно действовать постепенно, начинать с легких формул и задач, последовательно закреплять понимание, переходить на другой уровень сложности.

Собранные воедино самые распространенные формулы помогут ученикам сориентироваться в разнообразных способах вычисления площади трапеции и более качественно подготовиться к тестам и контрольным работам по этой теме.

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

• Основы трапеции – параллельные стороны
• Боковые стороны – две другие стороны
• Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

• Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны
• Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d ₁ 2 + d ₂ 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a – h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a – c· cos α – d· cos β

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d ₁ = √ a 2 + d 2 – 2 ad· cos β

d ₂ = √ a 2 + c 2 – 2 ac· cos β

d ₁ = √ h 2 + ( a – h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d ₂ = √ h 2 + ( a – h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d ₁ = √ c 2 + d 2 + 2 ab – d ₂ 2

d ₂ = √ c 2 + d 2 + 2 ab – d ₁ 2

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Площадь трапеции: формулы с примерами

Трапеция – четырехугольник у которого две стороны параллельны. Параллельные стороны – это основание, непараллельные стороны – боковые.

Существует несколько основных видов: криволинейная, равнобедренная, произвольная, прямоугольная. Вычисления площади трапеции по формуле разнятся в зависимости от конкретного типа геометрической фигуры.

Что такое трапеция: типы и отличия

Всего существует четыре типа, отличающихся между собой не только вариативностью углов, но и возможным наличием криволинейных отрезков.

• Произвольная – любой четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие – расположены произвольно (разные по длине и не под прямым углом относительно параллельных сторон).
• Прямоугольная – трапеция, в которой один угол у основания равен 90⁰.
• Равнобедренная (равнобокая) – фигура, обладающая одинаковыми по длине боковыми сторонами.
  
• Криволинейная трапеция – четырехугольник с парой параллельных сторон и двумя сторонами, ограниченными графиком неотрицательной обязательно непрерывной функции.
  

Площадь произвольной трапеции

Вариативность расчета площади произвольной трапеции невелика. Ее можно вычислить относительно заданных размеров основания и высоты; посчитать через обозначенные четыре стороны фигуры; решить пример, зная длину средней линии и высоты; по указанным диагоналям и углом между ними; высчитать через основания и два угла.

Формула через основания и высоту

Основная формула расчета данного способа:

Где а и b – параллельные стороны, а h – высота четырехугольника.

Пример задачи: Дана плоская геометрическая фигура, параллельные стороны которой соответствуют длине 12 и 20 см, а высота равна – 10 см. Как найти площадь?

Решение: Допустимое решение согласно вышеприведенной формуле S = (a + b)/2 x h: S = (12 + 20)/2 x 10 = 160 см².

Формула через высоту и среднюю линию

Зная длину средней линии и высоту плоской фигуры, всегда можно найти площадь трапеции, выполнив буквально одно действие:

Где h – высота четырехугольника, а m – средняя линия (прямая, соединяющая середины боковых сторон).

Пример решения задачи: Дана трапеция, в которой длина средней линии – 28 см, а высота фигуры – 19 см. Какова площадь плоского четырехугольника?

Решение: Используя формулу S = hm, подставляем вместо букв цифровые значения из условия задачки. Получаем S = 28 х 19 = 532 см².

Формула через четыре стороны

Этот метод не так прост, как предыдущие. Здесь взяты за основу основные теоремы геометрии, а потому принцип расчета площади трапеции выглядит следующим образом:

Где a, b, c, d – четыре стороны фигуры, причем сторона b в обязательном порядке должна быть длинней а.

Пример вычисления: Даны стороны – a = 2 см, b = 4 см, c = 8 см, d = 7 см. Как найти площадь трапеции?

Расчет:

Формула через диагонали и угол между ними

Вычислить площадь трапеции также можно, зная размеры обеих диагоналей и значения угла между ними.

Обозначения: d₁ и d₂ — первая и вторая диагонали, α – угол между диагоналями.

Пример: Вычислить площадь фигуры при следующих известных значениях — d₁ = 17 см, d₂ = 25 см, α = 35⁰.

Верное решение: S = ½ х 17 х 25 х sin35 = 212,5 х 0,57 = 121,125 см².

Формула через основания и два угла

Еще один вариант вычисления, основанный на расчете площади трапеции посредством длин двух оснований и двух углов.

Значения букв: b, a – длины оснований, α и β – углы.

Как посчитать (пример): Пускай угол α будет равен 67⁰, угол β = 106⁰, длина основания а равно 8 см, размер b = 11 см.

Решение:

Обучающее видео

Отличным подспорьем в изучении основных типов вычислений площади являются видеоматериалы с доступным, легким языком изложения, подробными объяснениями и примерами решения задач.

Видео «Трапеция: решение задач»

Видео для новичков – доходчиво изложенная информация, содержащая основные формулы вычисления площади трапеции.

Видео «Площадь трапеции»

Видео содержит максимально полную информацию о видах трапеций, правильных буквенных обозначениях и вариантах решений разноплановых задач при помощи всех известных методов и принципов расчета.

Все перечисленные формулы и способы вычисления широко применимы во время изучения геометрии в школах и ВУЗах. Студенту, школьнику и абитуриенту предоставленная информация пригодится в качестве онлайн шпаргалки в период интенсивной подготовки к экзаменам, контрольным работам, написания рефератов, курсовых и подобных работ.

Источники:

https://www.syl.ru/article/159382/mod_ploschad-trapetsii-formulyi-i-metodika-vyichisleniy
https://ru.onlinemschool.com/math/formula/trapezium/
https://detki.today/ploschad-trapetsii-formula.html