Как вычисляется вероятность. Примеры расчетов вероятностей сложных событий

Вероятность сложного события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Примеры совместных событий: человек ест и человек читает, число целое и четное.

Примеры несовместных событий: день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное.

Утверждение. Для несовместных событий A и B имеет место теорема сложения вероятностей р(A ∪ B) = p(A) + p(B), т. е. вероятность объединения (суммы) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Например, пусть А – «идет дождь», а В – «идет снег», тогда А ∪ В – «идет дождь или идет снег, или идет дождь со снегом».

Формулу для вероятности объединения двух несовместных событий можно обобщить на любое число попарно несовместных событий.

Установим теперь полезную для приложений связь между вероятностями исходного и противоположного события, т. е. между событием А и его дополнением = U A, где А ∪ = U.

Утверждение. Для любых событий A и B справедлива формула для вероятности объединения (суммы) событий вида

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B).

Мы определили ранее вероятность события как некоторую числовую характеристику возможности его наступления. Такую вероятность называют безусловной вероятностью, подчеркивая этим, что она не зависит ни от каких дополнительных условий испытания. В ряде случаев приходится рассматривать вероятность некоторого события A, которая зависит от того, произошло или не произошло другое случайное событие B. В таком случае говорят, что событие A зависит от события B, а вероятность появления событие A называют условной вероятностью. Условная вероятность событие A при условии, что произошло событие B, обозначается p(A ⎢B).

Пример . Игральная кость подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трёх очков. Какова вероятность того, что выпало чётное число очков?

Зная, что выпало более трёх очков, мы можем сузить множество всех возможных элементарных исходов до трёх одинаково вероятных исходов: , из которых событию благоприятствуют ровно два : . Поэтому .

Посмотрим на вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек : . Слова «известно, что выпало более трёх очков» означают, что в эксперименте произошло событие . Слова «какова при этом вероятность того, что выпало чётное число очков?» означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении B происходит и A. Вероятность события A, вычисленную в предположении, что о результате эксперимента уже что-то известно (событие B произошло), мы будем обозначать через .

Мы хотим найти, какую часть составляют исходы, благоприятствующие A внутри B (т.е. одновременно A и B), среди исходов, благоприятствующих B.

.

Определение условной вероятности.Если вероятность события В, р(В) > 0, то условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называют число

p(A⎢B) =

Исходя из формулы условной вероятности, можно получить способ вычисления вероятности пересечения двух событий, т. е. вероятность пересечения (произведения) двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: р(A ∩ B) = р(A) p(B ⎢A) или р(A ∩ B) = р(B) p(A ⎢B).

Определение независимых событий. Событие A называется

независимым от события В, если условная вероятность p(А⎢В) равна безусловной вероятности p(A), т. е. выполняется равенство

p(А ⎢В) = p(A).

Утверждение. Для независимых событий A и B имеет место теорема умножения вероятностей p(A ∩ B) = p(A) p(B).

Пример. Рассмотрим опыт, состоящий в бросании игрального кубика, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Считаем, что все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху. Построим соответствующее вероятностное пространство. Покажем, что события «наверху – грань с четным номером» и «наверху – грань с числом, делящимся на 3» являются независимыми.

Разбор примера. Пространство элементарных исходов состоит из 6 элементов: «наверху – грань с 1», «наверху – грань с 2»,…, «наверху – грань с 6». Событие «наверху – грань с четным номером» состоит из трех элементарных событий – когда наверху оказывается 2, 4 или 6. Событие «наверху – грань с числом, делящимся на 3» состоит из двух элементарных событий – когда наверху оказывается 3 или 6. Поскольку все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху, то все элементарные события должны иметь одинаковую вероятность. Поскольку всего имеется 6 элементарных событий, то каждое из них имеет вероятность 1/6. По определению 1событие «наверху – грань с четным номером» имеет вероятность ½, а событие «наверху – грань с числом, делящимся на 3» – вероятность 1/3. Произведение этих событий состоит из одного элементарного события «наверху – грань с 6», а потому имеет вероятность 1/6. Поскольку 1/6 = ½ х 1/3, то рассматриваемые события являются независимыми в соответствии с определением независимости.

Задача 1. В группе студентов–филологов после отчисления из оставшихся 15 девушек и 3 юношей выбирают по жребию 3-х человек в новый оргкомитет «Дней филолога». Какова вероятность того, что в составе выбранных окажется 2 девушки и 1 юноша?

Решение: Число всех равновозможных исходов этого испытания (обозначим его через n) заключается в выборе 3 студентов из 18 – это число равно 816 возможностям. Поэтому n = 816.

Число благоприятных исходов (обозначим его через m) – это выбор 2-х девушек из 15, т. е. это = 105 возможностей, и выбор 1-го юноши из 3, т. е. это = 3 возможности. Двух девушек и одного юношу, согласно комбинаторному принципу умножения, можно выбрать = 105 3= 315 способами. Поэтому m = 315. Следовательно, вероятность события А = <среди выбранных студентов окажется 2 девушки и 1 юноша>по формуле классической вероятности равна P(A)= ≈ 0,39.

Задача 2. В магазин “Академкнига” поступило 20 новых книг по филологии, из них 10 книг российских авторов, 6 книг

западноевропейских авторов и 4 книги татарстанских авторов. Покупатель случайно выбирает одну из новых книг по филологии. Найти вероятность, что наудачу купленная книга по филологии окажется российского или западноевропейского автора.

Решение.Событие А = <куплена книга по филологии российского автора>, событие В = <куплена книга по филологии западноевропейского автора>, тогда событие А ∪ В = <куплена книга по филологии российского или западноевропейского автора>. Соответственно, по формуле классической вероятности имеем р(А) = 0,5 и р(В) = 0,3. События А и В являются несовместными, следовательно, по теореме о сложении вероятностей р(А ∪ В) = р(А) + р(В) = 0,5 + 0,3 = 0,8.

Задача 3. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?

Решение.Событие A= <вынуты пуговицы одного цвета>можно представить в виде суммы , где события и означают выбор пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна , а вероятность вытащить две синие пуговицы . Так как события и не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения

Задача 4. Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий, 42% – французский; английский и немецкий – 8%, английский и французский – 10%, немецкий и французский – 5%, все три языка – 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.

Решение.Обозначим через A, B и С события, заключающиеся в том, что случайно выбранный сотрудник фирмы владеет английским, немецким или французским соответственно. Очевидно, доли сотрудников фирмы, владеющих теми или иными языками, определяют вероятности этих событий. Получаем:

Задача 5.В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?

Решение. Пусть А=<старший ребенок – мальчик>, B=<в семье есть дети обоего пола>. Будем считать, что рождение мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар: . В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола. Старший ребенок – мальчик, следовательно, второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и

Задача 6. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?

Решение. Событие А= <мастер проверил ровно две детали>означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит, , где = < первая деталь оказалась нестандартной >и =<вторая деталь – стандартная>. Очевидно, что вероятность события А₁ равна кроме того, , так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных. По теореме умножения

Задача 7.В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

Решение. Событие A= <хотя бы из одного ящика вынут белый шар>можно представить в виде суммы , где события и означают появление белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна , а вероятность вытащить белый шар из второго ящика . Кроме того, в силу независимости и имеем: . По теореме сложения получаем:

Вероятность сложного события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Примеры совместных событий: человек ест и человек читает, число целое и четное.

Примеры несовместных событий: день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное.

Утверждение. Для несовместных событий A и B имеет место теорема сложения вероятностей р(A ∪ B) = p(A) + p(B), т. е. вероятность объединения (суммы) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Например, пусть А – «идет дождь», а В – «идет снег», тогда А ∪ В – «идет дождь или идет снег, или идет дождь со снегом».

Формулу для вероятности объединения двух несовместных событий можно обобщить на любое число попарно несовместных событий.

Установим теперь полезную для приложений связь между вероятностями исходного и противоположного события, т. е. между событием А и его дополнением = U A, где А ∪ = U.

Утверждение. Для любых событий A и B справедлива формула для вероятности объединения (суммы) событий вида

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B).

Мы определили ранее вероятность события как некоторую числовую характеристику возможности его наступления. Такую вероятность называют безусловной вероятностью, подчеркивая этим, что она не зависит ни от каких дополнительных условий испытания. В ряде случаев приходится рассматривать вероятность некоторого события A, которая зависит от того, произошло или не произошло другое случайное событие B. В таком случае говорят, что событие A зависит от события B, а вероятность появления событие A называют условной вероятностью. Условная вероятность событие A при условии, что произошло событие B, обозначается p(A ⎢B).

Пример . Игральная кость подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трёх очков. Какова вероятность того, что выпало чётное число очков?

Зная, что выпало более трёх очков, мы можем сузить множество всех возможных элементарных исходов до трёх одинаково вероятных исходов: , из которых событию благоприятствуют ровно два : . Поэтому .

Посмотрим на вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек : . Слова «известно, что выпало более трёх очков» означают, что в эксперименте произошло событие . Слова «какова при этом вероятность того, что выпало чётное число очков?» означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении B происходит и A. Вероятность события A, вычисленную в предположении, что о результате эксперимента уже что-то известно (событие B произошло), мы будем обозначать через .

Мы хотим найти, какую часть составляют исходы, благоприятствующие A внутри B (т.е. одновременно A и B), среди исходов, благоприятствующих B.

.

Определение условной вероятности.Если вероятность события В, р(В) > 0, то условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называют число

p(A⎢B) =

Исходя из формулы условной вероятности, можно получить способ вычисления вероятности пересечения двух событий, т. е. вероятность пересечения (произведения) двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: р(A ∩ B) = р(A) p(B ⎢A) или р(A ∩ B) = р(B) p(A ⎢B).

Определение независимых событий. Событие A называется

независимым от события В, если условная вероятность p(А⎢В) равна безусловной вероятности p(A), т. е. выполняется равенство

p(А ⎢В) = p(A).

Утверждение. Для независимых событий A и B имеет место теорема умножения вероятностей p(A ∩ B) = p(A) p(B).

Пример. Рассмотрим опыт, состоящий в бросании игрального кубика, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Считаем, что все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху. Построим соответствующее вероятностное пространство. Покажем, что события «наверху – грань с четным номером» и «наверху – грань с числом, делящимся на 3» являются независимыми.

Разбор примера. Пространство элементарных исходов состоит из 6 элементов: «наверху – грань с 1», «наверху – грань с 2»,…, «наверху – грань с 6». Событие «наверху – грань с четным номером» состоит из трех элементарных событий – когда наверху оказывается 2, 4 или 6. Событие «наверху – грань с числом, делящимся на 3» состоит из двух элементарных событий – когда наверху оказывается 3 или 6. Поскольку все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху, то все элементарные события должны иметь одинаковую вероятность. Поскольку всего имеется 6 элементарных событий, то каждое из них имеет вероятность 1/6. По определению 1событие «наверху – грань с четным номером» имеет вероятность ½, а событие «наверху – грань с числом, делящимся на 3» – вероятность 1/3. Произведение этих событий состоит из одного элементарного события «наверху – грань с 6», а потому имеет вероятность 1/6. Поскольку 1/6 = ½ х 1/3, то рассматриваемые события являются независимыми в соответствии с определением независимости.

Задача 1. В группе студентов–филологов после отчисления из оставшихся 15 девушек и 3 юношей выбирают по жребию 3-х человек в новый оргкомитет «Дней филолога». Какова вероятность того, что в составе выбранных окажется 2 девушки и 1 юноша?

Решение: Число всех равновозможных исходов этого испытания (обозначим его через n) заключается в выборе 3 студентов из 18 – это число равно 816 возможностям. Поэтому n = 816.

Число благоприятных исходов (обозначим его через m) – это выбор 2-х девушек из 15, т. е. это = 105 возможностей, и выбор 1-го юноши из 3, т. е. это = 3 возможности. Двух девушек и одного юношу, согласно комбинаторному принципу умножения, можно выбрать = 105 3= 315 способами. Поэтому m = 315. Следовательно, вероятность события А = <среди выбранных студентов окажется 2 девушки и 1 юноша>по формуле классической вероятности равна P(A)= ≈ 0,39.

Задача 2. В магазин “Академкнига” поступило 20 новых книг по филологии, из них 10 книг российских авторов, 6 книг

западноевропейских авторов и 4 книги татарстанских авторов. Покупатель случайно выбирает одну из новых книг по филологии. Найти вероятность, что наудачу купленная книга по филологии окажется российского или западноевропейского автора.

Решение.Событие А = <куплена книга по филологии российского автора>, событие В = <куплена книга по филологии западноевропейского автора>, тогда событие А ∪ В = <куплена книга по филологии российского или западноевропейского автора>. Соответственно, по формуле классической вероятности имеем р(А) = 0,5 и р(В) = 0,3. События А и В являются несовместными, следовательно, по теореме о сложении вероятностей р(А ∪ В) = р(А) + р(В) = 0,5 + 0,3 = 0,8.

Задача 3. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?

Решение.Событие A= <вынуты пуговицы одного цвета>можно представить в виде суммы , где события и означают выбор пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна , а вероятность вытащить две синие пуговицы . Так как события и не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения

Задача 4. Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий, 42% – французский; английский и немецкий – 8%, английский и французский – 10%, немецкий и французский – 5%, все три языка – 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.

Решение.Обозначим через A, B и С события, заключающиеся в том, что случайно выбранный сотрудник фирмы владеет английским, немецким или французским соответственно. Очевидно, доли сотрудников фирмы, владеющих теми или иными языками, определяют вероятности этих событий. Получаем:

Задача 5.В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?

Решение. Пусть А=<старший ребенок – мальчик>, B=<в семье есть дети обоего пола>. Будем считать, что рождение мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар: . В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола. Старший ребенок – мальчик, следовательно, второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и

Задача 6. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?

Решение. Событие А= <мастер проверил ровно две детали>означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит, , где = < первая деталь оказалась нестандартной >и =<вторая деталь – стандартная>. Очевидно, что вероятность события А₁ равна кроме того, , так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных. По теореме умножения

Задача 7.В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

Решение. Событие A= <хотя бы из одного ящика вынут белый шар>можно представить в виде суммы , где события и означают появление белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна , а вероятность вытащить белый шар из второго ящика . Кроме того, в силу независимости и имеем: . По теореме сложения получаем:

Вычисление вероятности сложных событий

Пусть имеется урна с десятью шарами, из которых 6 белых и 4 черных. Тогда возможны следующие события:

А – вынуть белый шар из урны

В – вынуть черный шар из урны

Событие А состоит из событий А₁,А₂, А₃, А₄, А₅, А₆. Событие В состоит из событий В₁, В₂, В₃, В₄. Тогда процент белых шаров в урне определиться как отношение , а процент черных шаров .

Определение:Вероятностью события А наз. число, равное отношению числа исходов m благоприятствующих наступлению события А к общему числу всех элементарных исходов n.

– формула классического способа подсчета вероятности

Вероятность случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей

Определение:Перестановки– это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Определение:Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Определение:Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний

Пример 1. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?

Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:

Ответ:

Пример 2. В урне 10 шаров: 6белых и 4черных. Из нее вынимают два шара. Какова вероятность того что: а) 2белых; б) 2черных; в) 1белый,1черный

а) пусть А – вынуты 2белых шара. Найдем общее число всех элементарных исходов n.

б) пусть В – вынуты 2 черных шара

в)пусть С – вынут 1белый и 1черный шар

Ответ: а) б) в)

Задание для самостоятельной работы:

Подобрать три задачи на использование формул комбинаторики, формулы классического способа подсчета вероятностей. Оформить согласно требований.

Источники:

https://studopedia.ru/11_119402_veroyatnost-slozhnogo-sobitiya.html
https://studopedia.ru/11_119402_veroyatnost-slozhnogo-sobitiya.html
https://helpiks.org/5-50077.html