Матричные игры: примеры решения задач. Понятие об игровых моделях

Матричные игры, их виды и разработка моделей

Сущность, значение и сфера применения матричных игр. Понятие игры, ее исхода, участников и правил. Пример составления матрицы выигрышей одного из игроков. Общая характеристика методов решения матричных игр. Расчет решений в чистых и смешанных стратегиях.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на https://www.allbest.ru/

Метод решения матричных игр

Решение 2 x 2 игры

Решение m x n игры

Решение игр 2 x n m x 2

Приближенный метод решения матричных игр

Теория игр впервые была систематически изложена Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном в 1994 г., хотя отдельные исследования в этой области публиковались ещё в 1920 годах. Нейман и Моргенштерн написали книгу, которая содержала в основном экономические примеры, т.к. описать конфликт легче в числовой форме. После второй мировой войны всерьез теорией игр заинтересовались военные, т.к. увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Затем внимание снова переключилось на экономические проблемы. Сейчас ведется большая работа, направленная на расширение сферы применения теории игр.

Теория игр – это теория математических моделей, интересы участников которых различны, причем они достигают своей цели различными путями. Столкновение противоположных интересов участников приводит к возникновению конфликтных ситуаций. Необходимость анализировать такие ситуации была причиной возникновения теории игр, задачей которой является выработка рекомендаций к рациональным действиям участников конфликта.

Математическая теория игр способна не только указать оптимальный путь к решению некоторых проблем, но и прогнозировать их исход. Матричные игры серьёзно изучаются специалистами, так как они довольно просты и к ним могут быть сведены игры общего вида. Поэтому теория матричных игр хорошо развита, существуют различные методы поиска решения игр.

Но в большинстве случаев решение матричных игр представляет собой трудный и громоздкий процесс. Есть примеры, когда даже для матриц размера 33, процесс поиска решения довольно трудоёмкий.

Кроме того, выигрыши игроков в каждой ситуации не всегда определяются точными измерениями. В процессе сбора данных об изучаемом явлении, анализа этих данных и введения при построении модели различных предположений накапливаются ошибки. Они же могут выражаться числами в матрице выигрышей. Поэтому точность в определении значения игры и оптимальных стратегий игроков оправдана не всегда.

А также, следует заметить, что погрешность в оценке игроком своего выигрыша не может привести к практически серьёзным последствиям и небольшое отклонение игрока от оптимальной стратегии не влечёт за собой существенного изменения в его выигрыше.

Поэтому возникает потребность в разработке численных методов решения матричных игр.

Игрой называют упрощенную модель конфликтной ситуации. Игра ведется по определенным правилам. Суть игры в том, что каждый из ее участников принимает такие решения, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший результат (исход). Исход игры — это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией). Эта функция задается либо таблицей, либо аналитическим выражением. Если сумма выигрышей игроков равна нулю, то игру называют игрой с нулевой суммой. Если в игре участвую два игрока, то ее называют парной. В качестве может выступать как отдельное лицо, так и группа лиц, объединенных общностью цели.

Каждый игрок в ходе развивающейся конфликтной ситуации выбирает образ своих действий самостоятельно, имея лишь общее представление о множестве допустимых ответных решений партнера. В связи с этим ни один из игроков не может полностью контролировать положение, так что как одному и другому игроку решение приходится принимать в условиях неопределенности. Непременным остается только стремление игроков использовать любую ошибку партнера в своих интересах. Игры, в которых оба участника, действуя в строгом соответствии с правилами, в равной мере сознательно стремиться добиться наилучшего для себя результата, называют иногда стратегическими.

В экономической практике нередко приходится формализовать (моделировать) ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называют играми с природой, понимая под термином “природа” всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку приходится принимать решение. Например, выбор агрономической службой сельскохозяйственного предприятия участков различного плодородия посева той или иной культуры в надежде получить в предстоящем сезоне наилучший урожай, если нет достоверных данных о погодных условиях, которые могут сложиться в данном регионе; определение объема выпуска сезонной продукции новых образцов в ожидании наиболее выгодного для ее реализации уровня спроса; формирование пакета цент расчете на высокие дивиденды и т. п. Здесь в качестве второго игрока — “природы” — выступает: в первом при буквальном смысле природа; во втором — множество причин, влияющих на величину спроса; в третьем — совокупность обстоятельств, обусловливающих то или иное состояние рынка ценных бумаг.

Читать еще: Хоть топор вешай значение. История и значение выражения "хоть топор вешай"

В играх с природой степень неопределенности при принятии решения сознательным игроком возрастает. Объясняется это тем, что если в стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответственного действия партнера, то “природа”, будучи индифферентной в отношении выигрыша инстанцией, может предпринимать такие ответные действия (будем говорить: реализовать такие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку.

Пусть игроки A и B располагают конечным числом возможных действий — чистых стратегий. Обозначим из соответственно A₁. A_n и B₁. B_n. Игрок A может выбирать любую чистую стратегию , в ответ на которую игрок может выбрать любую свою чистую стратегию . Если игра состоит только из личных хо бор пары стратегий однозначно определяет результат — выигрыш игрока A.

При этом проигрыш игрока В составляет — . Если известны значения –выигрыша для каждой пары чистых стратегий, можно составить матрицу выигрышей игрока A (проигрышей игрока B) (табл.1). Ее называют платежной.

Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры

Дата публикации: 28.03.2018 2018-03-28

Статья просмотрена: 8743 раза

Библиографическое описание:

Черкасова М. С. Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры // Молодой ученый. 2018. №13. С. 9-22. URL https://moluch.ru/archive/199/48947/ (дата обращения: 11.02.2020).

Бог не играет в кости.

В практической деятельности нам очень часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых их участники (два или более) отстаивают свои, не совпадающие с другими, цели и интересы, касающиеся объекта спора. Наглядным примером может послужить взаимоотношение между начальником и работником в момент, когда руководство требует немедленного выполнения большого количества поставленных задач, в том числе и тех, что не входят в должностные обязанности подчиненного, без дополнительной оплаты. Таким образом, из-за того, что работник отказывается бесплатно выполнять эти задачи, а начальник, в свою очередь, грозится увольнением, возникла ситуация, которая называется конфликтной (или просто конфликт).

Изучением оптимальных решений в конфликтных ситуациях занимается один из разделов прикладной математики. Для этого строится упрощенная формализованную модель конфликта, которую принято называть игрой. При этом модель отличается от реальной ситуации тем, что игра ведется по вполне определенным правилам и в ней не учитываются второстепенные обстоятельства, не влияющие на исход события. [1]. Для решения модели разработаны специальные научно обоснованные методы, которые изучает математическая теория конфликтных ситуаций, получившая название теория игр.

Основополагающим в теории игр является само понятие игры, четкое указание, кто и как участвует в конфликте, возможные исходы конфликта, а также кто и в какой форме заинтересован в этих исходах.

Независимо от области деятельности, в которой произошел конфликт (экономика, политика, производственная деятельность, спорт и т. д.) участники игры (конфликта) всегда называются игроками, исход конфликта — выигрышем. Элементами игры являются ходы. Ход — это момент игры, связанный с выбором игроком определенной стратегии поведения, он бывает личный и случайный. Личный ход — это осознанный выбор игроком одного из возможных действий, установленных правилами. Например, каждый ход в шахматной игре является личным, причем при первом шаге идет выбор между двадцатью вариантами. Случайный ход представляет собой выбор одного из множества вариантов, но вариант выбирается не игроками, а механизмом случайного выбора (примером может послужить бросание монеты) [2]. Выбор, полученный при случайном ходе, называют исходом этого хода.

Возможный способ действия игрока или коалиции называется Стратегией игрока [3]. В процессе игры каждый участник выбирает свою стратегию, в результате которой складывается набор стратегий, называемый ситуацией. Игрок, выбирая стратегию, должен учитывать условие оптимальности, т. е. один из участников должен получить минимальный проигрыш, в то время как другой должен получить максимальный выигрыш, при условии, что все игроки придерживаются выбранных стратегий. Оптимальные стратегии должны удовлетворять условию устойчивости, т. е. каждому игроку будет невыгодно отказываться от своих стратегий. Если игра повторяется достаточно большое количество раз, то игроков может интересовать не выигрыш или проигрыш в конкретной партии, а средний результат во всех партиях [4].

Читать еще: Создание поэмы рамаяна сообщение кратко. Эпос рамаяна - поэзия индии

Поэтому, для решения модели необходимо классифицировать игру по следующим критериям:

– Количество игроков. Если в игре принимают участие две стороны, то ее называют игрой двух лиц. Если же количество участников больше двух, то ее называют игрой n лиц [5]. На данный момент наиболее глубоко проработаны игры двух лиц, так как изучение большего числа игроков затруднено из-за множества возникающих трудностей и технических возможностей получения решений.

– Количество стратегий. Различают конечные и бесконечные. Игра называется конечной, если каждый игрок имеет конечное число возможных стратегий, и бесконечной — в противном случае.

– Характер взаимодействия сторон. По этому критерию игры подразделяются на бескоалиционные, коалиционные (кооперативные). При рассмотрении игр n лиц (где n≥3) обнаруживаются две возможности: правила игры могут либо запрещать, либо разрешать объединение игроков в так называемые коалиции, т. е. в группы из двух и более участников, имеющих общую цель и координирующих свои стратегии.

Первый случай называется бескоалиционным, в котором основным вопросом является существование ситуаций равновесия. Второй случай, когда кооперация разрешена, называется коалиционным (при условии, что коалиции определены заранее). В случае игры из двух лиц имеет место только одна возможная коалиция. В случае из n участников возможных коалиций существует много.

Из двух типов игр, кооперативные описывают процесс игры в целом, в то время как бескоалиционные рассматривают ситуации в мельчайших подробностях, давая более точный результат.

Так же существуют гибридные игры, содержащие в себе элементы коалиционных и бескоалиционных игр. Например, игроки имеют право объединяться в коалиции, но сама игра будет вестись в бескоалиционном стиле. То есть, каждый игрок будет преследовать интересы группы, одновременно стараясь получить личную выгоду.

– Характер выигрышей. По этому критерию игры делятся на игры с нулевой суммой и с ненулевой суммой.

Игры с нулевой суммой — разновидность игр с постоянной суммой, то есть таких, в которых имеющиеся ресурсы всех участвующих лиц не меняются. В данном случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. В таблице числа означают платежи игрокам, и их сумма в каждой клетке равна нулю.