Решение показательных уравнений онлайн с подробным решением. Показательные уравнения
Показательные уравнения (с неизвестной в показателе степени)
Показательное уравнение – уравнение, содержащее переменную (x) в показателе степени.
(blacktriangleright) Выражение (a^n) называется степенью, (a) – основанием степени, (n) – показателем степени.
(blacktriangleright) Стандартное показательное уравнение:
[large<
(blacktriangleright) Основные формулы:
Найдите корень уравнения (3^
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть (3^
Найдите корень уравнения (5^ <7 - 2x>= 25) .
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть (5^ <7 - 2x>= 5^2) , оно имеет стандартный вид и равносильно (7 – 2x = 2) , что равносильно (x = 2,5) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения (2017^ <5 + x>= 1) .
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть (2017^ <5 + x>= 2017^0) , оно имеет стандартный вид и равносильно (5 + x = 0) , что равносильно (x = -5) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения (4^
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть (2^ <2x>= 2^<-1>) , оно имеет стандартный вид и равносильно (2x = -1) , что равносильно (x = -0,5) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения (2^ <4x - 8>= 0,5) .
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть (2^ <4x - 8>= 2^<-1>) , оно имеет стандартный вид и равносильно (4x – 8 = -1) , что равносильно (x = 1,75) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения (4^ <5 + 5x>= 0,5) .
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть (4^ <5 + 5x>= 4^<-0,5>) , оно имеет стандартный вид и равносильно (5 + 5x = -0,5) , что равносильно (x = -1,1) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения (5^ <-7 - 10x>= 0,04) .
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть (5^ <-7 - 10x>= 5^<-2>) , оно имеет стандартный вид и равносильно (-7 – 10x = -2) , что равносильно (x = -0,5) – подходит по ОДЗ.
На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.
Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!
При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.
Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.
Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.
Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или иррациональным уравнениям со знаком корня. База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.
Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.
Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!
Решение показательных уравнений онлайн с подробным решением. Показательные уравнения
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно “не очень. ”
И для тех, кто “очень даже. ” )
Что такое показательное уравнение? Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней. И только там! Это важно.
Вот вам примеры показательных уравнений:
Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) – только числа. В показателях степеней (вверху) – самые разнообразные выражения с иксом. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь, кроме показателя, например:
это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Здесь мы будем разбираться с решением показательных уравнений в чистом виде.
Вообще-то, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно. Вот эти типы мы и рассмотрим.
Решение простейших показательных уравнений.
Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например:
Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что х=2. Больше-то никак, верно!? Никакое другое значение икса не катит. А теперь глянем на запись решения этого хитрого показательного уравнения:
Что мы сделали? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки). Совсем выкинули. И, что радует, попали в точку!
Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней. Математика позволяет. Остаётся дорешать куда более простое уравнение. Здорово, правда?)
Однако, запомним железно: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве! Безо всяких соседей и коэффициентов. Скажем, в уравнениях:
2 х +2 х+1 = 2 3 , или
двойки убирать нельзя!
Ну вот, самое главное мы и освоили. Как переходить от злых показательных выражений к более простым уравнениям.
“Вот те раз!” – скажете вы. “Кто ж даст такой примитив на контрольных и экзаменах!?”
Вынужден согласиться. Никто не даст. Но теперь вы знаете, куда надо стремиться при решении замороченных примеров. Надо приводить его к виду, когда слева – справа стоит одно и то же число-основание. Дальше всё будет легче. Собственно, это и есть классика математики. Берём исходный пример и преобразовываем его к нужному нам виду. По правилам математики, разумеется.
Рассмотрим примеры, которые требуют некоторых дополнительных усилий для приведения их к простейшим. Назовём их простыми показательными уравнениями.
Решение простых показательных уравнений. Примеры.
При решении показательных уравнений, главные правила – действия со степенями. Без знаний этих действий ничего не получится.
К действиям со степенями надо добавить личную наблюдательность и смекалку. Нам требуются одинаковые числа-основания? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.
Посмотрим, как это делается на практике?
Пусть нам дан пример:
Первый зоркий взгляд – на основания. Они. Они разные! Два и восемь. Но впадать в уныние – рано. Самое время вспомнить, что
Двойка и восьмёрка – родственнички по степени.) Вполне можно записать:
Если вспомнить формулку из действий со степенями:
то вообще отлично получается:
8 х+1 = (2 3 ) х+1 = 2 3(х+1)
Исходный пример стал выглядеть вот так:
Переносим 2 3 (х+1) вправо (элементарных действий математики никто не отменял!), получаем:
Вот, практически, и всё. Убираем основания:
Решаем этого монстра и получаем
Это правильный ответ.
В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) – очень популярный приём в показательных уравнениях! Да и в логарифмах тоже. Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для решения показательных уравнений.
Дело в том, что возвести любое число в любую степень – не проблема. Перемножить, хоть на бумажке, да и всё. Например, возвести 3 в пятую степень сможет каждый. 243 получится, если таблицу умножения знаете.) Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот. Узнавать, какое число в какой степени скрывается за числом 243, или, скажем, 343. Здесь вам никакой калькулятор не поможет.
Степени некоторых чисел надо знать в лицо, да. Потренируемся?
Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Ответы (в беспорядке, естественно!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Если приглядеться, можно увидеть странный факт. Ответов существенно больше, чем заданий! Что ж, так бывает. Например, 2 6 , 4 3 , 8 2 – это всё 64.
Предположим, что вы приняли к сведению информацию о знакомстве с числами.) Напомню ещё, что для решения показательных уравнений применим весь запас математических знаний. В том числе и из младших-средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, верно?)
Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки (привет 7 классу!). Смотрим примерчик:
3 2х+4 -11·9 х = 210
И вновь, первый взгляд – на основания! Основания у степеней разные. Тройка и девятка. А нам хочется, чтобы были – одинаковые. Что ж, в этом случае желание вполне исполнимое!) Потому, что:
9 х = (3 2 ) х = 3 2х
По тем же правилам действий со степенями:
3 2х+4 = 3 2х ·3 4
Вот и отлично, можно записать:
3 2х ·3 4 – 11·3 2х = 210
Мы привели пример к одинаковым основаниям. И что дальше!? Тройки-то нельзя выкидывать. Тупик?
Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:
Не знаешь, что нужно – делай, что можно!
Глядишь, всё и образуется).
Что в этом показательном уравнении можно сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 3 2х явно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет:
3 2х (3 4 – 11) = 210
Что ещё можно сделать? Посчитать выражение в скобках:
3 4 – 11 = 81 – 11 = 70
Пример становится всё лучше и лучше!
Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем:
Оп-па! Всё и наладилось!
Это окончательный ответ.
Случается, однако, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация – никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа. Освоим этот тип.
Замена переменной в решении показательных уравнений. Примеры.
Сначала – как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.
4 х = (2 2 ) х = 2 2х
2 2х – 3·2 х +2 = 0
А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.
Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае – 2 х ) пишем другой, попроще (например – t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным!
Тогда 2 2х = 2 х2 = (2 х ) 2 = t 2
Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:
Ну что, осеняет?) Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем:
Тут, главное, не останавливаться, как бывает. Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t1:
Один корень нашли. Ищем второй, из t2:
Гм. Слева 2 х , справа 1. Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да. ), что единичка – это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит:
Вот теперь всё. Получили 2 корня:
При решении показательных уравнений в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа:
Из семёрки двойка через простую степень не получается. Не родственники они. Как тут быть? Кто-то, может и растеряется. А вот человек, который прочитал на этом сайте тему “Что такое логарифм?”, только скупо улыбнётся и запишет твёрдой рукой совершенно верный ответ:
Такого ответа в заданиях “В” на ЕГЭ быть не может. Там конкретное число требуется. А вот в заданиях “С” – запросто.
В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. Выделим основное.
1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!
2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах – считаем.
3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего – квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.
4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать “в лицо”.
Как обычно, в конце урока вам предлагается немного порешать.) Самостоятельно. От простого – к сложному.
Решить показательные уравнения:
2 х+3 – 2 х+2 – 2 х = 48
2 х – 2 0,5х+1 – 8 = 0
Найти произведение корней:
Ну, тогда сложнейший пример (решается, правда, в уме. ):
7 0.13х + 13 0,7х+1 + 2 0,5х+1 = -3
Что, уже интереснее? Тогда вот вам злой пример. Вполне тянет на повышенную трудность. Намекну, что в этом примере спасает смекалка и самое универсальное правило решения всех математических заданий.)
2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х
Пример попроще, для отдыха):
И на десерт. Найти сумму корней уравнения:
х·3 х – 9х + 7·3 х – 63 = 0
Да-да! Это уравнение смешанного типа! Которые мы в этом уроке не рассматривали. А что их рассматривать, их решать надо!) Этого урока вполне достаточно для решения уравнения. Ну и, смекалка нужна. И да поможет вам седьмой класс (это подсказка!).
Ответы (в беспорядке, через точку с запятой):
1; 2; 3; 4; решений нет; 2; -2; -5; 4; 0.
Всё удачно? Отлично.
Есть проблемы? Не вопрос! В Особом разделе 555 все эти показательные уравнения решаются с подробными объяснениями. Что, зачем, и почему. Ну и, конечно, там имеется дополнительная ценная информация по работе со всякими показательными уравнениями. Не только с этими.)
Последний забавный вопрос на соображение. В этом уроке мы работали с показательными уравнениями. Почему я здесь ни слова не сказал про ОДЗ? В уравнениях – это очень важная штука, между прочим.
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся – с интересом!)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
Показательные уравнения – алгоритмы и примеры вычисления
Показательные уравнения, как и любые другие, требуют поиска неизвестной переменной. Особенность в том, что она или выражение с ней находится в показателе степени.
Основные понятия и свойства
В показательных уравнениях, которые часто называют степенными, в основании находятся исключительно числа. Переменная же есть только в показателе.
Она может быть одна или являться частью выражения. Если она появляется в другом месте, приходится иметь дело с уравнениями смешанного типа.
Школьники знакомятся с простыми вычислениями уже в 7 классе, более сложные решают выпускники и студенты вузов. Если фигурирует несколько переменных и представлено больше одного уравнения, говорят об их системе.
Тогда необходимо выразить одну неизвестную через другую и искать результат методом подстановки. Поэтому умение находить значения, в которые возводят натуральные числа, пригодится на долгие годы.
Изучаются также и показательные функции: она может быть восходящей и нисходящей, в зависимости от значения переменной или выражения.
2 x = 4 – показательное уравнение с иксом в степени;
2 x = x + 12 – смешанное, ведь икс находится также и в основании.
2 – основание, оно должно соответствовать двум условиям, а именно: быть больше нуля и отличаться от единицы;
Если вместо знака «=» используются обозначения «>», « 1 = 9. Если же возвести число в степень ноль, то результат всегда будет одинаковым, а именно, равным единице: 9 0 = 1.
2. Если математическое выражение возводится в отрицательное значение, то его можно заменить дробью, где числитель – единица, а знаменатель первоначальное выражение, но уже в положительной степени. Числитель – значение, находящееся над чертой, знаменатель – под ней. Математически правило записывается в следующем виде:
3. Чтобы возвести число в степень, нужно умножить его на себя такое количество раз, которое равно ее значению, то есть р 5 = р·р·р·р·р.
4. Если нужно умножить два положительных числа, отличных от единицы и равных между собой, то нужно сложить их показатели и возвести в полученное значение основание: p 5 ·p 3 = p 5+3 = p 8 .
5. Когда требуется разделить одно число на другое, имеющие отличные показатели, нужно вычесть из одного другой и возвести в полученное значение неизменное основание: p 9 /p 3 = p 9-3 = p 6 .
6. Если необходимо возвести одну степень в другую, то нужно их перемножить. Само основание при этом остается без изменений. Его нужно возвести в полученное после арифметических действий значение: (p 3 ) 4 = p 3*4 = p 12 .
Применение свойств и правил помогает упростить выражения, быстрее произвести вычисления и получить результат.
Примеры решения показательных уравнений
Закрепить материал помогут подробные объяснения при решении показательных уравнений. Разъяснения на практике помогут изучить сложные моменты и облегчат усвоение знаний.
Задание 1
Упростить и решить уравнение: 5 3x+14 = 5 7+2x
В обеих частях примера одинаковые основания, значит, можно приравнять математические выражения, находящиеся в показателе. В результате получится:
Путем переноса чисел в одну часть, а переменных в другую, не сложно решить пример. Главное, не забывать менять знак на противоположный, плюс на минус и наоборот:
Задание 2
Выполнить вычисление и найти х:
Основания обеих частей примера – 4, оно не меняется, следовательно, можно воспользоваться изученными свойствами и получить простейшее уравнение:
Задание 3
Упростить и найти значение х:
Дроби в примере разные. Поэтому приравнять их показатели сразу не получится. Но стоит обратить внимание, что числитель одной равен знаменателю другой и наоборот.
Чтобы решить, придется вспомнить о правиле возведения в отрицательную степень, когда выражение представляется в виде дроби. Значит, числитель можно поменять местами со знаменателем.
В показателе при этом появится знак «минус»:
При равных основаниях приравниваются степени: -х = 2х + 3.
Далее придется выполнить простое задание, чтобы найти неизвестную переменную:
Задание 4
Вычислить: (3 x ) 2 = 81.
Можно представить в следующем виде: (3 x ) 2 = 3 4 .
Если воспользоваться изученными свойствами, получается: 3 2x = 3 4 .
Далее выполнить простые действия, чтобы получить результат:
Задание 5
Решить уравнение: 5 x+1 + 7·5 x-2 = 132.
Если воспользоваться свойством степеней, применяемых для умножения значений с одинаковым основанием, можно преобразовать уравнение. Общий множитель прежде всего нужно поставить за скобки, это правило регулярно применяется при решении:
5 x-2 (5 3 + 7) = 132;
Если обе части уравнения разделить или умножить на одно и то же число, результат не изменится. В данном случае необходимо разделить на число 132. Это помогает избавиться от громоздких вычислений, удлиняющих ход решения:
Далее необходимо вспомнить, что любое значение, возведенное в ноль, равно единице:
Остается только приравнять показатели и решить элементарный пример:
Задание 6
Решить показательное уравнение √4 x = 16.
Квадратный корень можно заменить степенью 1/2. Получается, что 4 имеет показатель x/2.
Значит, уравнение преобразуются в следующее:
А дальше необходимо действовать по уже проверенному и закрепленному методу:
Чтобы быстро решать показательные уравнения, нужно знать свойства степеней и умело ими пользоваться на практике. Это позволит легко находить неизвестные переменные. Полученные знания обязательно пригодятся для вычисления более сложных задач.
Существуют онлайн калькуляторы, позволяющие легко и просто решить степенные уравнения. Требуется просто вписать их в ячейку и немного подождать, пока машина справится с подсчетами. Но гораздо интереснее самому произвести арифметические действия и получить верный результат.
Интернет не всегда есть под рукой, а подобные примеры – основа решения более трудных задач, которые могут встретиться на экзамене ЕГЭ по математике. Например, логарифмических. Они могут содержать тригонометрические элементы и объемные алгебраические конструкции.
Источники:
https://shkolkovo.net/catalog/reshenie_uravnenij_2/pokazatelnye_s_neizvestnoj_v_pokazatele_stepeni
https://www.egesdam.ru/page270.php
https://nauka.club/matematika/pokazatelnye-uravneniya.html
