Деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Золотое сечение и симметрия
Золотое сечение и симметрия
Золотое сечение нельзя рассматривать само по
себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий
русский кристаллограф Г. В. Вульф (1863—1925)
считал золотое сечение одним из проявлений сим-
метрии.
Золотое деление не есть проявление асиммет-
рии, чего-то противоположного симметрии. Соглас-
но современным представлениям золотое деле-
ние— это асимметричная симметрия. Сейчас в
науку о симметрии вошли такие понятия, как
статическая и динамическая симметрия. Статиче-
ская симметрия характеризует покой, равновесие,
а динамическая — движение, рост. Так, в природе
статическая симметрия представлена строением
кристаллов, а в искусстве характеризует покой,
равновесие и даже застылость. Динамическая сим-
метрия выражает активность, характеризует дви-
жение, развитие, ритм, она — свидетельство жизни.
Симметрии свойственны равные отрезки, равные
величины. Динамической симметрии свойственно
увеличение отрезков (или их уменьшение), и оно
выражается в величинах золотого сечения возра-
стающего или убывающего ряда.
Художественная форма, в основе построения
которой лежат пропорции золотого сечения, и осо-
бенно сочетание симметрии и золотого сечения,
является высокоорганизованной формой, способ-
ствующей наиболее ясному выражению содержа-
ния, наилегчайшему зрительному восприятию и
появлению у зрителя ощущения красоты.
Очень часто в одном и том же произведении
живописи встречается сочетание симметричного
деления на равные части по вертикали и деление
на неравные части по золотому сечению по гори-
зонталям.
Картина Леонардо да Винчи «Мадонна в гроте»
не строго симметрична, но в основе ее построе-
ния— симметрия (рис. 17, а). Все содержание
картины выражается в фигурах, которые размести-
лись в нижней ее части. Они вписываются в квад-
рат. Но художник не довольствовался таким фор-
матом. Он достраивает над квадратом прямоуголь-
ник золотого сечения (рис. 17, б). В результате
такого построения вся картина получила формат
золотого прямоугольника, поставленного верти-
кально. Радиусом, равным половине стороны квад-
рата, он описал окружность и получил полукружие
верхней части картины. Внизу дуга пересекла ось
симметрии иуказала размер еще одного прямо-
угольника золотого сечения в нижней части карти-
ны (рис. 17, в). Затем радиусом, равным стороне
квадрата, описывается новая дуга, которая дала
точки на вертикальных сторонах картины. Эти
точки помогли построить равносторонний треуголь-
ник, который и явился каркасом для построения
всей группы фигур. Все пропорции в картине яви-
лись производными от высоты картины. Они обра-
зуют ряд отношений золотого сечения и служат
основой гармонии форм и ритма, несущих в себе
скрытый заряд эмоционального воздействия. Ана-
логичным образом построена картина Рафаэля
«Обручение Марии» (рис. 18).
Если мы обратимся к древнерусской живописи,
иконам XV—XVI вв., то увидим такие же приемы
построения изображения. Иконы вертикального
формата симметричны по вертикали, а членения по
горизонталям осуществлены по золотому сечению.
Икона «Сошествие во ад» Дионисия и мастерской
(рис. 19) с математической точностью рассчитана
в пропорциях золотого сечения.
В иконе конца XV в. «Чудо о Флоре и Лавре»
осуществлено тройное отношение золотого сечения.
Сначала мастер разделил высоту иконы на две
равные части. Верхнюю отвел под изображение
ангела и святых. Нижнюю часть он разделил на
два неравных отрезка в отношении 3 : 2. В итоге
получилось соотношение трех величин золотого се-
чения: а : Ь, как b : с. В числах это будет выглядеть
так: 100, 62, 38, а уменьшенные вдвое — 50, 31, 19.
О симметричности «Троицы» Андрея Рублева
написано много. Но никто не обратил внимания
на то, что по горизонталям и здесь осуществлен
принцип золотых пропорций (рис. 20). Высота
среднего ангела относится к высоте боковых анге-
лов, как их высота относится к высоте всей иконы.
Линия золотого сечения пересекает ось симметрии
по середине стола и чаши с жертвенным тельцем.
Это — композиционный замок иконы. На рисунке
показаны и более мелкие величины ряда золотого
сечения. Наряду с плавностью линий, колоритом
Использование симметрии и
золотого сечения в картине
Леонардо да Винчи «Мадон-
на в гроте»:
а — пропорции золотого сечения:
б — размещение персонажей
картины в квадрате; в — схема
линейного построения картины
Использование симме-
трии и золотого сече-
ния в картине Рафа-
эля «Обручение Ма-
рии
Золотые пропорции в линейном построении изображения на иконе «Сошествие в ад» Дионисия и мастерской (XVI в.)
Симметрия и золотые пропорции в линейном построении «Троицы» Андрея Рублева
Золотые пропорции в линейном построении изображения на плите фараона Нармера (3-е тыс. до н. э.)
пропорции иконы играют значительную роль в
создании того общего впечатления, которое испы-
тывает зритель при ее рассматривании.
Могучим хоралом представляется нашему взору
икона Феофана Грека «Успение» (рис. 21). Сим-
метрия и золотое сечение в построении придают
этой иконе такую мощь и стройность, какую мы
видим и ощущаем при виде греческих храмов и
слушании фуг Баха. Легко заметить, что компози-
ция «Успения» Феофана Грека и «Троицы» Андрея
Рублева одна и та же. Исследователи творчества
древнерусских художников отмечают, что заслуга
Феофана Грека состоит не столько в том, что он
писал фрески и иконы для русских соборов и церк-
вей, сколько в том, что он научил античной муд-
рости Андрея Рублева.
Завершим хвалу содружеству симметрии и
золотого сечения рассмотрением пропорций побед-
ной плиты египетского фараона Нармера (3-е тыс.
до н. э.). Прямоугольник золотого сечения — исход-
ная форма плиты Нармера (рис. 22). Плита
разбита на пояски, высота которых выдержана в
пропорциях золотого сечения. Высота фигуры фа-
раона— от верхнего пояска до нижнего — равна
62 частям высоты. Нижняя часть плиты от пояска
до края равна 24 частям, а верхняя, от верхнего
пояска до верхнего края,— 14 частям. Ритмический
строй оборотной стороны плиты несколько иной,
потому что содержание изображения потребовало
иного сопоставления пропорциональных величин.
Пропорции золотого сечения и симметрия дают
бесконечное разнообразие композиционных по-
строений как в самой природе, так и в произведе-
ниях искусства всех родов и видов.
185.94.188.253 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Золотое сечение – геометрия и искусство
Золотое сечение
Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении.
И. Кеплер
Деление отрезка в среднем и крайнем отношении часто использовалось в искусстве, встречается оно и в живой природе, что дало повод математику XVI в., другу известного художника Леонардо да Винчи, монаху Луке Пачоли назвать такое деление отрезка божественной, великолепной пропорцией. По поводу этой пропорции он употребляет много слов, но в истории утвердились два варианта: золотая пропорция, или золотое сечение.
Эта наша пропорция, высокочтимый герцог, достойна такой привелегии и такого превосходства, какие только можно высказать по поводу её безграничных возможностей, поскольку, не зная её, никогда нельзя обнаружить ни в философии, ни в другой какой-нибудь науке очень многих вещей, достойных восхищения.
Л. Пачоли
Коль скоро, стало быть, все вещи прекрасны и в известном смысле могут служить исто ч ником наслаждения, а красоты и наслаждения нет без пропорциональности, пропорциональность же прежде всего существует в числах, необходимо, чтобы всё поддавалось счислению, отчего число и е с ть в духе важнейший прообраз создателя, а в вещах – важнейший след, ведущий к мудрости.
Д. Бонавентура
Золотое сечение называют гармонической пропорцией.
Построить золотое сечение можно пользуясь следующими указаниями:
Построить отрезок АВ
В точке В восставить перпендикуляр к АВ
Разделить АВ пополам
Отложить на перпендикуляре точку C так, чтобы ВC= 1/2 АВ
Соединить точки А и C
Точка М является искомой, она производит золотое сечение отрезка
Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой пятиугольник – выпуклый и звёздчатый. Звёздчатый пятиугольник называется пентаграммой («пенте» – пять). Он служит символом Пифагорейского союза.
В этой фигуре наблюдается удивительное постоянство отношений отрезков: AD:AC = AC:CD = AB:BC = AD:AE = AE:EC
То, что части красиво сложенного человеческого тела находятся в определенной пропорции, знает каждый: недаром мы говорим о пропорционально сложенной фигуре. Но далеко не всём известно, что здесь имеет место золотое деление. Лучшим примером того, что древние ваятели использовали этот принцип при изображении человеческого тела, являются античные статуи. Идеально сложенное человеческое тело полностью отвечает этому принципу. Если высоту хорошо сложенной фигуры разделить в крайнем и среднем отношении, то линия раздела окажется на высоте талии. Особенно хорошо удовлетворяет этому закону мужская фигура. Любая античная скульптура отвечает закону золотой пропорции. Каждую отдельно взятую часть тела (голову, руку, кисть) также можно разделить на естественные части по закону золотого сечения.
Рука согласно принципу «золотого» сечения распадается на «свои анатомические части» – плечо, предплечье, кисть. Разделение кисти руки, лица отвечает тоже этому принципу.
«Золотая» пропорция – понятие математическое. Но она явля ется критерием гармонии и красоты, а это уже категории искусства.
В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое» сечение, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое» сечение дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.
Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н.э.) – храм Афины.
Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона , искали и находили в соотношениях его частей «золотую» пропорцию. Тщательные измерения Парфенона показали, что в нем нет прямых линий, а поверхности не плоские, а слегка изогнутые. Зодчие Греции знали, что строго горизонтальная линия и плоская поверхность наблюдателю издалека представляются прогнувшимися в середине.
Другим примером использования «золотой» пропорции из архитектуры древности является Пантеон.
Скульптурные сооружения, памятники, воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиг и деяния. Пропорции «золотого сечения» создают впечатления гармонии, красоты, поэтому скульптуры использовали их в своих произведениях. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям.
Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое» сечение в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (который считается одним из чудес света) и Афины Парфенос.
Принято считать, что использование золотого прямоугольника в живописи придает полотну гармонию и умиротворенность . В произведении Леонардо да Винчи «Тайная вечеря» можно увидеть золотой прямоугольник, здесь соотношение сторон картины близко к числу Ф.
С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.
Пропорция Золотое сечение. «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них- теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении.» – презентация
Презентация была опубликована 7 лет назад пользователемmatemkonst.narod.ru
Похожие презентации
Презентация на тему: ” Пропорция Золотое сечение. «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них- теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении.»” — Транскрипт:
1 Пропорция Золотое сечение
2 «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них- теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении.» И.Кеплер
3 Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. «Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей,… это наилучшим образом может выполнить пропорция.» Тимей
4 Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами: 1)на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС; 2) на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); 3) таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС. Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Золотое сечение – гармоничная пропорция В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d. (a*d=b*c) А В С
5 Понятие золотого сечения Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а. (1-х) : х = х : 1
7 AB1 1 C Д E K Деление отрезка в золотом отношении
8 Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя. «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». На прямой произвольной длины, отложим отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов.
9 История золотого сечения Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
10 Золотой треугольник Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
11 КL FM P C B A E D 1)Угол прав.пятиуг.= 2)Диагонали делят угол на 3 равные части по Пентаграммы- вместилище золотых пропорций EB_KB=BP:BF= Стороны пентаграммы пересекаясь, делят друг друга на отрезки, длины которых образуют золотую пропорция Тр-к KBF подобен тр-ку EBP
12 Соотношения связанные с золотой пропорцией
14 Построение правильного пятиугольника
15 Лука Пачоли «О божественной пропорции»
16 Золотой прямоугольник Если соединить вершины получаемых квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется золотой или логарифмической спиралью.
17 Логарифмическая спираль Логарифмическая спираль единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров. Видимо это свойство послужило причиной того, что в живой природе она встречается чаще других. По логарифмической спирали свёрнуты раковины многих улиток и моллюсков, она встречается в соцветиях растений, даже пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по логарифмической спирали.
18 Ряд Фибоначчи С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр: Меся цы и т. д. Пары кроли ков и т. д.
19 Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих = 5; = 8; = 13, = 21; = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Свойство чисел ряда Фибоначчи
20 Золотое сечение и симметрия Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия.
21 Домашнее задание Задача 1. Построить отрезок длиной Ф, если дан квадрат со стороной 1. Задача 2. С помощью циркуля и линейки построить прямоугольник с отношением сторон 1 :. Задача 3. Докажите, что диагональ правильного пятиугольника равна Ф, если сторона этого пятиугольника равна 1.
Источники:
https://studopedia.ru/16_47119_zolotoe-sechenie-i-simmetriya.html
https://geometry-and-art.ru/goldenratio.html
https://www.myshared.ru/slide/150160/
